22.2　相似三角形的判定

第3课时　相似三角形的判定定理2

主备人：费义慧    参备人：薛云、张丽玲、苏华纬、    备课时间：2024年10月23日

【学习目标】

1.掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

2.培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形相似的判定方法(两边对应成比例，夹角相等)与全等三角形的判定方法(SAS)的区别与联系，体验两个事物间特殊与一般的关系.

3.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力.

【学习重点】

重点：两个三角形相似的判定方法(两边对应成比例，夹角相等)及其应用.

【学习难点】

难点：探究两个三角形相似的判定方法的过程.

教学过程

复习回顾

预备定理

平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.

定理1  两角分别相等的两个三角形相似.

探究新知

【思考】

对于△ABC和△A′B′C′，如果 

∠A＝∠A′，那么这两个三角形一定相似吗？

【互动】（小组讨论）教师引导，推导结论.

已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A＝∠A′.

求证：△ABC和∽A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E，则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴ △ADE∽△ABC.

∵  ，AD＝A′B′，∴  

∵  ，

∴  ，A′C′＝AE.

∵ ∠A＝∠A′，∴ △ADE≌△A′B′C′(SAS).

∴ △ABC∽△A′B′C′.

发现：

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

简单地说：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

用数学符号表示：

如图，∵  ，∠A＝∠A′，∴ △ABC∽△A′B′C′.

【活动】

问题：下图中的两个三角形是否相似？

【探究】（小组讨论）

结论：利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出结论.

【尝试】（小组合作，老师指导）

例1　根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.

∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm；

∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm.

【互动】（引发学生思考，老师指导）试写出证明过程.

解：∵  ， ，∴ .

又∠A＝∠A′，∴ △ABC∽△A′B′C′.

【探究】（启发学生逆向思维）

例2　如图，BC与DE相交于点O，问：

（1）当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？

（2）当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？

解：（1）∵ ∠A＝∠A，

∴ 当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADE.

（2）∵ ∠A＝∠A，∴ 当AC∶AE＝AB∶AD时，△ABC∽△ADE.

课堂练习

1.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 (    )

A.①与②相似         B.①与③相似  

C.①与④相似         D.②与④相似

2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为（　）

A.3        B.4         C.5             D.6

3.根据下列条件，判断△ABC与△A₁B₁C₁是否相似，并说明理由.

(1)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝3 cm；

∠A₁＝120°，A₁B₁＝14 cm，A₁C₁＝6 cm.

(2)∠B＝120°，AB＝2 cm，AC＝6 cm；

∠B₁＝120°，A₁B₁＝8 cm，A₁C₁＝24 cm.

4.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7.5，求AD的长.

课堂小结

1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

2.本堂课用到了类比的数学思想方法.

布置作业

教材第80页练习T1，2.

板书设计

定理2  两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

用数学符号表示：

∵ ，∠A＝∠A′，∴ △ABC∽△A′B′C′.

布置作业

重点学生分析

成绩优异：重点学生通常在各科成绩上表现出色，不仅基础扎实，还具备较强的综合应用能力和解题技巧。他们往往能够迅速掌握新知识，并在考试中取得优异成绩。

学习态度积极：这类学生通常对学习充满热情，能够主动预习、复习，积极参与课堂讨论，不满足于课本上的知识，还会主动拓展学习领域。

学习方法高效：他们往往掌握了一套适合自己的高效学习方法，能够合理安排时间，高效利用资源，快速提升自己的学习水平。

反思：本节课主要探究相似三角形的判定方法二，由于上节课已经学习了两个三角形相似的判定方法一，故本节课的内容与上节课具有一定的相似性。此外由于判定方法二的条件相应的夹角相等，在应用中容易被学生忽视，所以在教学中教师要着重强调该条件，以便加深学生的印象。

月进度测试题

 如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求证：；